基数変換と情報量

ITパスポート 無料テキスト 単元23／第7章　基礎理論とアルゴリズム／テクノロジ系／重要度 ★★★★／出題箇所 テクノロジ系／読む目安 45分　登録不要で読めます

2進数と10進数の変換

仕事でパソコンを使うとき、私たちは0から9までの10種類の数字を使う10進数で数える場面がほとんどです。ところがコンピュータの内部では、電気信号が流れているか止まっているかの2つの状態しか区別できません。これは、電球のスイッチが「ON」か「OFF」かのどちらかしかないのと同じ仕組みです。この0か1かという最小の情報の単位をビット(bit)と呼びます。ビット1つだけでは表せる情報が少なすぎるため、8個のビットをひとまとめにした単位がバイト(byte)で、1バイトあれば英数字1文字分を表現できます。この電球のON・OFFの集まりで数を表す仕組みが2進数で、コンピュータはあらゆる数値や文字を2進数に変換して処理しています。

2進数と10進数は、どちらも「数を表す方法(基数)」という点では同じですが、桁が上がる仕組みが違います。10進数は右から1、10、100…と10倍ずつ桁が上がるのに対し、2進数は右から1、2、4、8…と2倍ずつ桁が上がります。この「桁の重み」の違いを押さえておくと、変換の手順がぐっと分かりやすくなります。

2進数を10進数に変換するには、1が立っている桁の重みをすべて足します。2進数「1011」を例にすると、右から1の位(重み1)、2の位(重み2)、4の位(重み4、ここは0なので加算しない)、8の位(重み8)のうち1が立っている桁を足して1+2+8=11です。逆に10進数を2進数に変換するには、その数を2で割り続けて余りを記録し、余りを下から並べます。10進数「13」であれば、13÷2=6余り1、6÷2=3余り0、3÷2=1余り1、1÷2=0余り1となり、余りを下から並べて「1101」が答えです。

2進数どうしの足し算も、桁上がりの仕組みが10進数と同じなので難しくありません。2進数「1010」と「0011」を足すと、1の位は0+1=1、2の位は1+1=10(桁上がりして0を書き、1つ上の桁に1を繰り上げる)、4の位は0+0+繰り上がりの1=1、8の位は1+0=1となり、答えは「1101」です。ただし、コンピュータが1度に扱える桁数(ビット数)には上限があります。例えば8ビットで表現できる数値の範囲は2の8乗通り、つまり0から255までの256通りに限られます。この上限を超える計算をすると、正しい結果が得られない「桁あふれ」が起きる点も覚えておきましょう。

16進数と基数変換の使いどころ

基数変換は、試験だけでなく実務でも「異なる表し方の間を行き来する」場面で使われます。例えばプログラミングで色を指定するとき(RGBを16進数で表す)や、メモリの番地を表示するときには、2進数・10進数・16進数を行き来する力が必要です。

16進数は、0から9までの数字に加えてA・B・C・D・E・Fの6つのアルファベットを使い、合計16種類の記号で数を表します。ここでA=10、B=11、C=12、D=13、E=14、F=15に対応します。16進数の便利な点は、4桁の2進数がちょうど1桁の16進数に対応することです。2進数「1111」は16進数の「F」、2進数「0001 0000」は16進数の「10」になります。この対応関係を使えば、2進数と16進数の変換は4桁ずつ区切って表に当てはめるだけで済みます。

ここで、2進数→10進数の変換と、10進数→2進数の変換は手順の向きが逆なので混同しないよう整理しておきましょう。2進数→10進数は「1が立っている桁の重みを足し算する」手順です。10進数→2進数は「2で割り続けて、出た余りを下から並べる」手順です。どちらも試験で頻出なので、実際に手を動かして両方の方向を練習しておくと安心です。慣れないうちは、変換のたびにどちら向きの計算をしているかを声に出して確認するとミスが減ります。

16進数がよく使われる身近な例に、Webページの色指定があります。赤色を表す「#FF0000」という表記は、赤・緑・青それぞれの明るさを2桁の16進数(合計6桁)で表したもので、「FF」は2進数「11111111」、10進数の255にあたり、その色をもっとも明るく使うという意味です。このように、16進数は桁数を短くコンパクトに表せるため、2進数をそのまま人間が読み書きするより扱いやすいという利点があります。

練習として、16進数から2進数への変換もやってみましょう。16進数「2A」を2進数にするには、まず1桁ずつ分けて考えます。「2」は2進数で「0010」、「A」は10進数の10にあたるので2進数で「1010」です。これを並べると「0010 1010」となり、これが16進数「2A」に対応する2進数です。桁数の多い2進数をそのまま計算するより、4桁ずつのまとまりで考えるほうがミスを減らせます。試験ではこうした変換問題が、2進数・10進数・16進数のどの組み合わせでも出題されるので、どの方向でも手が止まらないように練習しておきましょう。

情報量の単位と計算問題

バイトを基準に、情報量が大きくなるにつれてKB(キロバイト)、MB(メガバイト)、GB(ギガバイト)、TB(テラバイト)という単位を使います。1KBは1000バイト、1MBは1000KB、1GBは1000MBという関係で、ファイルの保存容量や通信データ量を表すときに使われます。1バイトで表現できるパターンの数は2の8乗、つまり256通りです。

情報量の計算で混同しやすいのが、ビット(b)とバイト(B)の違いです。バイトはファイルサイズ(データの容量)を表すときに、ビットは通信速度(1秒間に送れるデータ量、bps)を表すときによく使われます。1バイト=8ビットなので、計算の前に単位をそろえる必要があります。

実際に計算してみましょう。1文字を1バイトで表すとき、1000文字のテキストは1000バイト、つまり約1KBです。これが1000個集まれば1,000,000バイト、約1MBになります。

もう一つ、通信速度の例です。8Mbpsの回線で8MB(メガバイト)のファイルを転送する場合を考えます。8MBは1バイト=8ビットなので8×8=64メガビット(Mbit)です。これを8Mbpsの速度で送ると64÷8=8秒かかります。単位を見たら「bかBか」を最初に確認する習慣をつけておきましょう。

なお、コンピュータの世界では、1KBを1000バイトではなく1024バイト(2の10乗)として扱うことがあり、この区別を明確にするためにKiB(キビバイト)という単位が使われる場合もあります。試験問題では「1000」で計算するよう指示されることが多いですが、問題文に1024と書かれている場合はその指示に従います。どちらの基準で計算するのかを、計算を始める前に必ず確認する習慣をつけておくと、ケアレスミスを防げます。

最後にもう一問、練習してみましょう。「1枚2MBの画像を500枚保存すると、合計で何GBになるか」を考えます。まず2MB×500枚=1000MBです。1GB=1000MBなので、1000MB÷1000=1GBとなり、合計で1GBのデータ量になります。このように、ビット・バイト・KB・MB・GBの関係を段階的に積み上げて考えれば、大きな数字が出てきても落ち着いて整理できます。基数変換と同じく、この分野も手順さえ身につければ確実に得点できる計算問題です。

この単元の確認問題

答えを見る前に、まず自分の言葉で答えてみてください。言葉にできないところが、そのまま本試験で止まるところです。

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